翻訳と辞書
Words near each other
・ 調和の霊感
・ 調和三角形
・ 調和函数
・ 調和平均
・ 調和形式
・ 調和微分
・ 調和微分形式
・ 調和振動
・ 調和振動子
・ 調和数
調和数 (発散列)
・ 調和数列
・ 調和等能系
・ 調和級数
・ 調和解析
・ 調和道丹田呼吸法
・ 調和関数
・ 調圧弁
・ 調声
・ 調子


Dictionary Lists
翻訳と辞書 辞書検索 [ 開発暫定版 ]
スポンサード リンク

調和数 (発散列) : ウィキペディア日本語版
調和数 (発散列)[ちょうわすう]
: ''オアの調和数調和数の項を参照。また調和数の列は調和数列とは異なる。''
数学において、''n''-番目の調和数(ちょうわすう、)は 1 から ''n'' までの自然数逆数和
:H_n= 1+\frac+\frac+\cdots+\frac=\sum_^n \frac
である。これはまた、1 から ''n'' までの自然数の調和平均の逆数の ''n''-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ(しばしば調和数もひっくるめて一口に調和級数と呼ぶこともある)、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。
十分大きな数の標本について、その出現頻度がジップの法則に従って分布するとき、全体の中で ''n''-番目の頻度で現れる標本の総頻度は ''n''-番目の調和数である。このことは長い尻尾およびの驚くべき帰結の一種を導く。
== 調和数の計算法 ==

調和数の積分表示
: H_n = \int_0^1 \frac\,dx
オイラーによる。この等式は簡単な代数的等式
:\frac=1+x+\ldots +x^
を使えば明らかである。また、積分の変数を単純に ''x'' = 1 − ''u'' と変換すれば、''H''''n'' のきれいな組合せ論的展開
: \begin H_n
& = \int_^ \fracdu = \int_^ \leftu^\right du\\
& =\sum_^ (-1)^\binom \int_^ u^du = \sum_^ (-1)^\frac\binom
\end
が得られる。同じ表現は、第三で ''x''1 = 1, ..., ''x''''n'' = 1 とおき、
: \Pi_k(1,\ldots,n)=(-1)^(k-1)!(n-k)!
なる事実を用いることでも得られる。すなわち
:H_n=H_=\sum_^n\frac=(-1)^n!\sum_^n\frac=\sum_^n(-1)^\frac\binom nk
が成り立つ。また、レトケシュ恒等式を ''x''1 = 12, ..., ''x''''n'' = ''n''2 に対して用いれば、この場合
: \Pi_k(1^2,2^2,\ldots,n^2)=(-1)^\frac
となるので、ζ(2) の第 ''n''-部分和についての類似の公式
: H_=\sum_^n\frac=2\sum_^n(-1)^\frac\frac
を得る。''H''''n'' の増大度は ''n'' の自然対数 ln(''n'') と同程度の速さである。このことは、''H''''n'' を積分
: \int_1^n \quad(= \ln(n))
で近似することによって確認できる。数列 (''H''''n'' - ln(''n'')) は単調に減少して、
: \lim_ H_n - \ln(n) = \gamma
なる定数(この定数 γ はオイラー・マスケローニ定数と呼ばれ、その値は 0.5772156649... である)を極限にもち、これに対応する漸近展開
:H_n = \ln + \gamma + \fracn^ - \fracn^ + \fracn^ + \mathcal(n^)
で与えられる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「調和数 (発散列)」の詳細全文を読む



スポンサード リンク
翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース

Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.